Question

如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

在△ABP中，由余弦定理算出AP=，再用正弦定理算出sin∠APB=，由同角三角函数的基本关系得cos∠APB=-，进而算出sin∠CPD=sin（120°-∠APB）=，cos∠CPD=．然后在△PCD中算出sin∠PDC=sin（∠CPD+∠C）=，利用正弦定理列式，即可算出CD的长．
【解析】
∵△ABC是等边三角形，∴B=60°
在△ABP中，AB=3，BP=1，根据余弦定理，得
AP2=AB2+BP2-2AB•BPcosB=9+1-2×3×1×cos60°=7，可得AP=
根据正弦定理，得，即，解得sin∠APB=
∵△ABP中，AP2+BP2＜AB2，得∠APB是钝角
∴cos∠APB=-=-
△PCD中，∠CPD=180°-∠APB-∠APD=120°-∠APB
∴sin∠CPD=sin（120°-∠APB）=sin120°cos∠APB-cos120°sin∠APB=×（-）+×=
cos∠CPD==
因此，△PCD中，sin∠PDC=sin（∠CPD+∠C）=sin∠CPDcosC+cos∠CPDsinC=×+×=
由正弦定理，得，
即，解之得CD=
故选：B