Question

已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率，且短半轴b=1，F₁，F₂为其左右焦点，P是椭圆上动点．
（Ⅰ）求椭圆方程．
（Ⅱ）当∠F₁PF₂=60°时，求△PF₁F₂面积．
（Ⅲ）求取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用椭圆=1（a＞b＞0）的离心率，且短半轴b=1，建立方程组，求出几何量，即可求椭圆方程．
（Ⅱ）当∠F1PF2=60°时，利用余弦定理，求出|PF1||PF2|，再利用三角形面积公式，可求△PF1F2面积．
（Ⅲ）用坐标表示向量，再利用数量积公式，即可求取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵椭圆=1（a＞b＞0）的离心率，且短半轴b=1，
∴
∴椭圆方程为…（4分）
（Ⅱ）设|PF1|=m，|PF2|=n，
∵，
∴在△PF1F2中，由余弦定理得：=12=m2+n2-2mncos60°=m2+n2-mn=（m+n）2-3mn=16-3mn
∴…（7分）
∴…（9分）
（Ⅲ）设P（x，y），则，即
∵，∴
∴…（11分）
∵-2≤x≤2，∴
故…（13分）