Question

已知函数f（x）=+（a∈N^*），对定义域内任意x₁，x₂，满足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，则正整数a的取值个数是    ．

Answer

对定义域内任意x1，x2，满足|f（x1）-f（x2）|＜1，即表明f（x）的最大值与最小值的差小于1．（也就是值域区间的长度小于1），求其最大最小值即可．
【解析】
∵a-x≥0，x≥0，∴0≤x≤a，∴定义域为[0，a]
对定义域内任意x1，x2，满足|f（x1）-f（x2）|＜1，即表明f（x）的最大值与最小值的差小于1．（也就是值域区间的长度小于1），求其最大最小值即可
∵f（x）=+≥0
∴[f（x）]2=a+2≥a，当x=0或a时，f（x）取最小值
又x（a-x）≤[]2=，当x=a-x即x=时取等号
即[f（x）]2≤a+a=2a，f（x）≤，当x=时取最大值
∴（-1）＜1
∴＜=1+
∴a＜3+2
∵a∈N*，
∴a=1、2、3、4、5
∴正整数a的取值个数是5个．
故答案为：5