Question

如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜）
（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小；
（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小．

Answer

（1）作MP∥AB交BC于点，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，易证MNQP是平行四边形，根据即可求出MN的长；
（2）根据（1）将MN 关于a的函数进行配方即可求出MN的最小值，注意取最小值时a的取值；
（3）取MN的中点G，连接AG、BG，根据二面角的平面角的定义可知∠AGB即为二面角的平面角，在三角形AGB中利用余弦定理求出此角的余弦值，结合图形可二面角与之互补．
解（1）作MP∥AB交BC于点，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形．
∴MN=PQ
由已知CM=BN=a，CB=AB=BE=1
∴，
=
=
=
（2）由（1）
=
=
=
所以，当时，
即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为
（3）取MN的中点G，连接AG、BG，
∵AM=AN，BM=BN，G为的中点
∴AG⊥MN，BG⊥MN，即∠AGB即为二面角的平面角α
又，所以，由余弦定理有
故所求二面角为：