Question

求证：0≤a＜是不等式ax²-ax+1-a＞0对一切实数x都成立的充要条件．

Answer

一元二次不等式ax2-ax+1＞0对一切实数x都成立，y=ax2-ax+1-a的图象在x轴上方，，由此能够求出a的取值范围，从而得到证明．
证明：充分性：∵0＜a＜，
∴△=a2-4a（1-a）=5a2-4a=a（5a-4）＜0，
则ax2-ax+1-a＞0对一切实数x都成立．
而当a=0时，不等式ax2-ax+1-a＞0可变成1＞0．
显然当a=0时，不等式ax2-ax+1-a＞0对一切实数x都成立．
必要性：∵ax2-ax+1-a＞0对一切实数x都成立，
∴a=0或
解得0≤a＜．
故0≤a＜是不等式ax2-ax+1-a＞0对一切实数x都成立的充要条件．