Question

求下列函数的最值
（1）x＞0时，求的最小值．
（2）设，求的最大值．
（3）若0＜x＜1，求y=x⁴（1-x²）的最大值．
（4）若a＞b＞0，求的最小值．

Answer

（1）本题可为三个数的和，将变为，用基本不等式求出最小值．
（2）将函数变形f（x）=（log3x-3）（log3x+1）=（log3x）2-2log3x-3，令log3x=t，转化为二次函数解决．
（3）将原函数式化为y=x4（1-x2）=4×x2•x2（1-x2）后利用基本不等式求解即可．
（4）本题可为三个数的和，可进行变形a+=a-b+b+用基本不等式求出最小值．
【解析】
（1）y=，
=9，
当且仅当时，取等号，
∴函数的最小值为9．

（2）f（x）=（log3x-3）（log3x+1）=（log3x）2-2log3x-3
令log3x=t，由，得，t∈[-2，3]
∴y=t2-2t-3，t∈[-2，3]
当t=-2或3时，ymax=5
（3）y=x4（1-x2）=4×x2•x2（1-x2）=，
故y=x4（1-x2）的最大值是．
（4）∵a＞b＞0
a+=a-b+b+≥3=3=3，
当且仅当a-b=b=时取等号．
故最大值为：3．