Question

已知x，y，z∈R⁺，求证：
（1）（x+y+z）³≥27xyz；  
（2）；  
（3）（x+y+z）（x²+y²+z²）≥9xyz．

Answer

利用基本不等式，结合不等式的性质，即可证明结论．
证明：（1）∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3，当且仅当x=y=z时，取等号，∴（x+y+z）3≥27xyz；  
（2）∵x，y，z∈R+，∴≥=3，≥=3，当且仅当x=y=z时，取等号，
∴两式相乘，可得；
（3））∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3，x2+y2+z2≥3，当且仅当x=y=z时，取等号，
∴两式相乘可得（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．