Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=na_n²，求数列{b_n}的前n项和．

Answer

（1）由已知条件可得 2an+1 +Sn -2=0，可得n≥2时，2an+sn-1-2=0，相减后再得数列{an}是以1为首项，公比为的等比数列，再求出通项公式；
（2）根据（1）和条件求出bn，再利用错位相消法求出其前n项和Tn，然后化简整理求出前n项和．
【解析】
（1）：（Ⅰ）∵点（an+1，Sn）在直线2x+y-2=0上，
∴2an+1 +Sn -2=0． ①
当n≥2时，2an+sn-1-2=0． ②
①─②得 2an+1 -2an+an=0，即（n≥2），
把n=1和a1=1代入①，可得a2=，也满足上式，
∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，
则an=，
（2）设数列{bn}的前n项和是Tn，
由（1）得，bn=nan2==，
∴Tn=1+++…+     ①，
则=+++…+    ②，
①-②得，=1++++…+-
=-=，
则Tn=．