Question

甲、乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化，甲水池蓄水量（百吨）与时间t（小时）的关系是：f（t）=2+sint，t∈[0，12]，乙水池蓄水量（百吨）与时间t（小时）的关系是：g（t）=5-|t-6|，t∈[0，12]．问：何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值？最大值为多少？
（参考数据：sin6≈-0.279）．

Answer

要求甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值，设甲、乙两水池蓄水量之和为H（t）=f（t）+g（t）．因为g（t）中含有绝对值，分[0，6]和（6，12]两个区间讨论t的取值范围化简绝对值，分别求出H′（t）=0时t的值得到函数的增减性以及正弦、余弦函数的增减性得到两个最大值，比较最大即可．
【解析】
设甲、乙两水池蓄水量之和为H（t）=f（t）+g（t）
①当t∈[0，6]时，H（t）=f（t）+g（t）=2+sint+5-（6-t）=sint+t+1
H′（t）=cost+1≥0，所以H（t）在t∈[0，6]上单调递增，
所以[H（t）]max=H（6）=7+sin6；
②当t∈（6，12]时，H（t）=f（t）+g（t）=2+sint+5-（t-6）=sint-t+13
H′（t）=cost-1≤0，所以H（t）在t∈（6，12]上单调递减，
所以H（t）＜7+sin6=6.721；
故当t=6h时，甲、乙两水池蓄水量之和H（t）达到最大值，最大值为6.721百吨．