Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1，a，b为实数，a≠0，x∈R，F（x）=，
（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）+kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0．

Answer

（1）把x=-1代入解析式列出一个方程，再由函数的值域和二次函数的性质得△=0得一个方程，联立方程求解；
（2）由（1）和条件求出g（x）的解析式，再求出对称轴，根据题意和和二次函数的单调性，列出不等式求解；
（3）由二次函数是偶函数的条件得b=0，代入F（x），再由条件判断出n＜0＜m，表示出F（m）+F（n）化简后判断符号．
【解析】
（1）依题意，有，
解得，∴f（x）=x2+2x+1，
∴
（2）由（1）得g（x）=f（x）+kx=x2+2x+1+kx=x2+（k+2）x+1，
∴函数g（x）的对称轴x=，
∵g（x）在区间[-1，1]上是单调函数，
∴．
解得    k≥0，或k≤-4．
∴实数k的取值范围为（-∞，-4]∪[0，+∞），
（3）∵f（x）=ax2+bx+1为偶函数，∴b=0，即f（x）=ax2+1（a＞0），
∴
∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，不妨设n＜0＜m，则有0＜-n＜m，
∴m-n＞0，m+n＞0．
∵F（m）+F（n）=am2+1-an2-1=a（m+n）（m-n），
∴F（m）+F（n）＞0．