Question

如图，设P是抛物线y=x²上一点，且在第一象限．过点P作抛物线的切线，交x轴于Q₁点，过Q₁点作x轴的垂线，交抛物线于P₁点，此时就称P确定了P₁．依此类推，可由P₁确定P₂，…．记P_n（x_n，y_n），n=0，1，2，…．给出下列三个结论：
①x_n＞0；
②数列{x_n}是公比为的等比数列；
③当x=1时，y+y₁+y₂+…+y_n＜2．
其中所有正确结论的序号为    ．

Answer

通过求导即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程，即可得到xn+1与xn的关系，利用等比数列的通项公式、求和公式即可求出．
【解析】
求导得：y′=2x，
∴在Pn处作曲线C的切线的斜率为2xn，
则此切线方程为y-yn=2xn（x-xn），即y=2xnx-xn2，
令y=0，得到x=xn，∴Qn+1（xn，0），即xn+1=xn，
∵x1＞0，∴xn＞0，即①正确；
∵xn+1=xn，∴数列{xn}是公比为的等比数列，即②不正确；
③当x=1时，数列{xn}是以1为首项，公比为的等比数列，∴数列{yn}是以1为首项，公比为的等比数列
∴y+y1+y2+…+yn=＜＜2，即③正确．
综上，正确结论的序号为①③．