Question

设函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（a，f（a））处的切线与直线x-y=0平行，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer

（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）的图象在点（a，f（a））处的切线与直线x-y=0平行，建立方程，即可求实数a的值；
（Ⅱ）求导数，令导数为0，进而比较两根的大小，确定导数的正负，即可求函数f（x）的极值．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）的定义域是{x|x＞0}．…（1分）
对f（x）求导数，得．…（3分）
由题意，得a＞0，且f′（a）=1，
解得a=2．…（5分）
（Ⅱ）由f′（x）=0，得方程2x2-（a+2）x+a=0，
一元二次方程2x2-（a+2）x+a=0存在两解x1=1，，…（6分）
当x2≤0时，即当a≤0时，随着x的变化，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

x （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） - +
f（x） ↘ 极小值 ↗

即函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
所以函数f（x）在x=1存在极小值f（1）=-a-1；          …（8分）
当0＜x2＜1时，即当0＜a＜2时，随着x的变化，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

x 1 （1，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

即函数f（x）在，（1，+∞）上单调递增，在上单调递减．
所以函数f（x）在x=1存在极小值f（1）=-a-1，在存在极大值；…（10分）
当x2=1时，即当a=2时，
因为（当且仅当x=1时等号成立），
所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，故不存在极值；           …（12分）
当x2＞1时，即当a＞2时，随着x的变化，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

x （0，1） 1
f′（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

即函数f（x）在（0，1），上单调递增，在上单调递减．
所以函数f（x）在x=1存在极大值f（1）=-a-1，在存在极小值；
综上，当a≤0时，函数f（x）存在极小值f（1）=-a-1，不存在极大值；
当0＜a＜2时，函数f（x）存在极小值f（1）=-a-1，存在极大值 ；
当a=2时，函数f（x）不存在极值；
当a＞2时，函数f（x）存在极大值f（1）=-a-1，存在极小值．…（14分）