Question

在数列{a_n}中，对于任意n∈N^*，等式a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=b成立，其中常数b≠0．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求证：数列{2^a_n}为等比数列；
（Ⅲ）如果关于n的不等式＞（c∈R）的解集为{n|n≥3，n∈N^*}，求b和c的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由已知等式，写出，，由此可求a1，a2的值；
（Ⅱ）由已知等式，再写一式，两式相减，即可证明数列{2an}为等比数列；
（Ⅲ）不等式化简为，分类讨论，结合函数的单调性，即可求b和c的取值范围．
（Ⅰ）【解析】
因为，
所以，，
解得a1=b，a2=2b．…（3分）
（Ⅱ）证明：当n≥2时，由，①
得，②
将①，②两式相减，得 ，
化简，得an=nb，其中n≥2．…（5分）
因为a1=b，所以an=nb，其中n∈N*．…（6分）
因为为常数，
所以数列为等比数列．…（8分）
（Ⅲ）【解析】
由（Ⅱ），得，…（9分）
所以，…（11分）
又因为，
所以不等式化简为，
当b＞0时，考察不等式的解，
由题意，知不等式的解集为{n|n≥3，n∈N*}，
因为函数在R上单调递增，所以只要求 且即可，
解得；                                        …（13分）
当b＜0时，考察不等式的解，
由题意，要求不等式的解集为{n|n≥3，n∈N*}，
因为，
所以如果n=3时不等式成立，那么n=2时不等式也成立，
这与题意不符，舍去．
所以b＞0，．…（14分）