Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-1与x=2处都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对x∈[-2，3]，不等式f（x）+c＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer

（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=-1和x=2代入求出a、b即可；
（2）求出函数的最大值为f（-1），要使不等式恒成立，既要证f（-1）+c＜c2，即可求出c的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b，
由题意：即
解得
∴，f′（x）=3x2-3x-6
令f′（x）＜0，解得-1＜x＜2；
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞2，
∴f（x）的减区间为（-1，2）；增区间为（-∞，-1），（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（-∞，-1）上单调递增；
在（-1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．
∴x∈[-2，3]时，f（x）的最大值即为f（-1）与f（3）中的较大者.；
∴当x=-1时，f（x）取得最大值．
要使，只需，即：2c2＞7+5c
解得：c＜-1或．
∴c的取值范围为．