Question

已知函数f（x）=x³+ax+b的图象是曲线C，曲线C在点（1，3）处的切线与直线y=2x+3平行．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的递增区间；
（3）求函数F（x）=f（x）-2x-3在区间[0，2]上的最大值和最小值．

Answer

（1）利用f（x）的导函数及切点横坐标，求出a的值；再利用切点求出b的值．最后代入即可得f（x）的解析式．
（2）通过在函数的单调递增区间，函数f（x）的导函数大于零，求出x的取值范围．
（3）通过函数F（x）的导函数F'（x）=0，求出函数的极值．列出x，F'（x），F（x）关系表，通过观察可知F（x）在区间[0，2]最大和最小值．
【解析】
（1）根据题意：．∵f'（x）=3x2+a
∴f'（1）=3+a=2得a=-1
由f（1）=3得1+a+b=3，∴b=3
∴f（x）=x3-x+3．
（2）由f（x）=x3-x+3得f'（x）=3x2-1，
令f'（x）=3x2-1＞0，解得或．
∴函数f（x）的递增区间为，．
（3）F（x）=x3-3x，F'（x）=3x2-3
令F'（x）=3x2-3=0，得x1=-1，x2=1．
列出x，F'（x），F（x）关系如下：

x （0，1） 1 （1，2） 2
F'（x） - +
F（x） 递减 极小值-2 递增 2

∴当x∈[0，2]时，F（x）的最大值为2，最小值为-2