Question

已知椭圆的左焦点F为圆x²+y²+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为．
（I）求椭圆方程；
（II）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A、B，点M（），证明：为定值．

Answer

（I）先求出圆心坐标，再根据题意求出a、b，得椭圆的标准方程．
（II）根据直线的斜率是否存在，分情况设直线方程，再与椭圆方程联立方程组，设出交点坐标，结合韦达定理根与系数的关系，利用向量坐标运算验证．
【解析】
（I）∵圆x2+y2+2x=0的圆心为（-1，0），依据题意c=1，a-c=-1，∴a=．
∴椭圆的标准方程是：+y2=1；
（II）①当直线L与x轴垂直时，L的方程是：x=-1，
 得A（-1，），B（-1，-），
•=（，）•（，-）=-．

②当直线L与x轴不垂直时，设直线L的方程为 y=k（x+1）
⇒（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，
 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=，x1+x2=-，
=（x1+，y1）•（x2+，y2）=x1x2+（x1+x2）++k2（x1x2+x1+x2+1）
=（1+k2）x1x2+（k2+）（x1+x2）+k2+=（1+k2）（）+（k2+）（-）+k2+
=+=-2+=-
综上•为定值-．