Question

函数f（x）=xlnx-ax²-x（a∈R）．
（I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（II）若函数f（x）的图象在直线y=-x图象的下方，求a的取值范围；
（III）求证：．

Answer

（I）求出函数定义域，f′（x），由f（x）在x=1处取得极值，得f′（1）=0，由此可得a值，然后代入验证；
（II）因为函数f（x）的图象在直线y=-x图象的下方，所以xlnx-ax2-x＜-x，即xlnx-ax2＜0恒成立，分离参数a后，转化为求函数最值即可；
（III）由（II）知：h（x）≤h（e）=，所以≤，从而有lnx≤＜x，即lnx＜x，据此不等式可得ln1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，ln2013＜2013，对各式累加，再运用对数运算法则即可证明；
【解析】
（I）函数定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx-2ax，
因为f（x）在x=1处取得极值，
所以f′（1）=0，即-2a=0，解得a=0，．
所以f′（x）=lnx，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在x=1处取得极值．
所以a=0．
（II）由题意，得xlnx-ax2-x＜-x，即xlnx-ax2＜0恒成立，
因为x∈（0，+∞），所以a＞，
设h（x）=，则h′（x）=，
令h′（x）＞0，得0＜x＜e，所以h（x）在（0，e）上为增函数；
令h′（x）＜0，得x＞e，所以h（x）在（e，+∞）上为减函数；
所以h（x）max=h（e）=，
所以a＞．
（III）由（II）知：h（x）≤h（e）=，所以≤，所以lnx≤＜x，即lnx＜x，
所以ln1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，ln2013＜2013，
以上各式相加，得ln1+ln2+ln3+…+ln2013＜1+2+3+…+2013，
所以ln（1×2×3×…×2013）＜=2013×1007，即•ln（1×2×3×…×2013）＜2013，
所以．