Question

经过双曲线的左焦点F₁作倾斜角为的直线AB，分别交双曲线的左、右支为点A、B．
（Ⅰ）求弦长|AB|；
（Ⅱ）设F₂为双曲线的右焦点，求|BF₁|+|AF₂|-（|AF₁|+|BF₂|）的长．

Answer

（I）求出双曲线的焦点坐标，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程；将直线的方程代入双曲线的方程，利用两点的距离公式求出|AB|．
（Ⅱ）利用双曲线的定义，即可求|BF1|+|AF2|-（|AF1|+|BF2|）的长．
解析：（Ⅰ）∵双曲线的左焦点为F1（-2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB的方程可设为，代入方程得，8x2-4x-13=0，（4分）
∴，
∴（8分）
（Ⅱ）∵F2为双曲线的右焦点，且双曲线的半实轴长a=1
∴|AF1|+|BF2|-（|BF1|+|AF2|）=（|AF1|-|AF2|）+（|BF2|-|BF1|）=4a=4（12分）