Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆上的两点，已知O为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为2，且，若．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求△AOB的面积．

Answer

（1）根据题意，可得b=1且，解出a=2，由此即可得到该椭圆的方程；

（2）由（1）得焦点F（0，），设AB的方程为，与椭圆方程联解并消去y，得（k2+4）x2+kx-1=0，由根与系数的关系得x1+x2、x1x2关于k的表达式．由，利用向量数量积的运算性质得到关于k的方程，解出，代入前面式子得，从而算出|x1-x2|=，由此代入△AOB面积公式，即可得到所求△AOB的面积．
【解析】
（1）∵短轴长为2b=2，∴b=1
又∵椭圆的离心率

∴解得a=2，所以椭圆的方程为（5分）
（2）由（1）得c==，可得F（0，）
由题意知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为，与椭圆方程联解得
消去y，得
∴（7分）
∵，
∴=
=，解之得（10分）
∴，
由此可得|x1-x2|==
∴△AOB的面积为．（13分）