Question

已知函数f（x）=ae^x和g（x）=lnx-lna的图象与坐标轴的交点分别是点A，B，且以点A，B为切点的切线互相平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数，求函数F（x）的极值；
（Ⅲ）若存在x使不等式成立，求实m的取值范围．

Answer

（I）利用导数的运算法则得出f′（x），g′（x），再利用导数的几何意义，得到f′（0）=g′（a），解出即可；
（II）解出F′（x）=0，再判定是否符合极值的定义即可；
（III）存在x使不等式成立⇔故在x∈[0，+∞）上有解⇔令，m＜h（x）max，利用导数求出即可．
【解析】
（Ⅰ），（x＞0）．
函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），
函数y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），
由题意得，又∵a＞0，∴a=1；
（Ⅱ）∵，（x＞0），
∴，

解F′（x）＞0得x＞1；解F′（x）＜0，得0＜x＜1．
∴函数F（x）的递减区间是（0，1），递增区间是（1，+∞），
所以函数F（x）极小值是F（1）=1，函数F（x）无极大值；
（Ⅲ）由得，
故在x∈[0，+∞）上有解，
令，m＜h（x）max
当x=0时，m＜0
当x＞0时，，
∵x＞0，∴，
∴
故，
即在区间[0，+∞）上单调递减，故m＜h（x）max，∴m＜0，
即实数m的取值范围（-∞，0）．