Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=1，点D是AC₁的中点．
（1）求证：BD⊥平面AB₁C；
（2）求二面角C-AB₁-C₁的余弦值．

Answer

解法一：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，证明，可得BD⊥AC，BD⊥AB1，从而可得BD⊥平面AB1C．
（2）求出平面AB1C1的一个法向量，平面AB1C的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角C-AB1-C1的余弦值；
解法二：（1）分别取AC、AB1中点E、F，连结DE，BE，BF，DF，证明BD⊥AC，BD⊥AB1，利用线面垂直的判定定理，即可得到结论；
（2）连结CF，证明∠DFC为二面角C-AB1-C1的平面角，在△DFC中，利用余弦定理可求二面角C-AB1-C1的余弦值．
解法一：（1）建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，如图，
则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B1（0，0，1），C1（0，1，1），D（．
则，．
∴．
∴BD⊥AC，BD⊥AB1，且AC∩AB1=A．
∴BD⊥平面AB1C．
（2）设平面AB1C1的一个法向量为
∴
∴
即有
令x=1，得
由（1）可知是平面AB1C的法向量
．
即二面角C-AB1-C1的余弦值为．
解法二：
（1）分别取AC、AB1中点E、F，连结DE，BE，BF，DF，
∵D、F是AC1、AB1的中点，则DE∥CC1，DF∥B1C1
∵CC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC．
则BE是BD在平面ABC内的射影．
∵AB=BC，∴BE⊥AC．
∴BD⊥AC
∵B1C1⊥BB1，B1C1⊥A1B1，BB1∩A1B1=B1
∴B1C1⊥平面ABB1
∴DF⊥平面ABB1
则BF是BD在平面ABB1内的射影．
∵AB=BB1，∴BF⊥AB1．
∴BD⊥AB1．
又AC∩AB1=A，
∴BD⊥平面AB1C．
（2）连结CF．
由（1）知，DF⊥平面ABB1，∴DF⊥AB1
∵，∴CF⊥AB1．
则∠DFC为二面角C-AB1-C1的平面角．
在△DFC中，，
则．
即二面角C-AB1-C1的余弦值为．