Question

如图，椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
   （ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；
   （ⅱ）求△AMN面积的最大值．

Answer

（I）根据题意，可得a=2且c=1，利用平方关系算出b2=3，因此可求出椭圆C的方程；
（II）（ⅰ）根据题意，得F（1，0），N（4，0）．设A（m，n），则B（m，-n），可得AF、BN以m、n为参数的方程，联解得出M（，），再M坐标代入椭圆方程加以验证，即可得到点M恒在椭圆C上；
（ii）设AM的方程为x=ty+1，与椭圆方程消去x得（3t2+4）y2+6ty-9=0．设A（x1，y1），M（x2，y2），由韦达定理将y1+y2、y1y2表示为关于t的式子，从而可得|y1-y2|=，然后换元：令3t2+4=λ （λ≥4），可得|y1-y2=4•，根据二次函数的性质算出当=时即t=0时，|y1-y2|取得最大值3，由此可得△AMN面积的最大值为．
【解析】
（I）由题意得a=2且c=1
∴为
（II）（ⅰ）根据题意，得F（1，0），N（4，0）
设A（m，n），则B（m，-n） （n≠0）
可得
∵AF、BN方程分别为m（x-1）-（m-1）y=0
和m（x-4）-（m-4）y=0
∴M（x，y）满足，
联解得x=，y=
由于====1
所以点M恒在椭圆C上；
（ii）设AM的方程为x=ty+1，与消去x得（3t2+4）y2+6ty-9=0
设A（x1，y1），M（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=
∴|y1-y2|2=（y1+y2）2-4y1y2=（）2+=
可得|y1-y2|==
令3t2+4=λ （λ≥4），可得|y1-y2|=•=4•
∵λ≥4，可得∈（0，]，
∴当=时，即t=0时，|y1-y2|取得最大值3，此时AM经过点F
∵△AMN面积S=|FN|•|y1-y2|=|y1-y2|
∴当t=0时，即直线AB与x轴垂直时，△AMN面积的最大值为．