Question

已知函数f（x）=e^x-x²，g（x）=alnx+b（a＞0），若对任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），则实数a，b的取值范围是（ ）
A．0＜a≤，b≥e-1
B．0＜a≤，b≤e-1
C．a≥，b≥e-1
D．a≥，b≤e-1

Answer

对任意x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）=g（x2），等价于x∈[1，2]时f（x）的值域为g（x）值域的子集，利用单调性求得两函数的值域，由集合的包含关系可得不等式，解出即可．
【解析】
因为当x∈[1，2]时，f′（x）=ex-2x＞0，所以f（x）在[1，2]上递增，
所以x∈[1，2]时，f（1）≤f（x）≤f（2），即e-1≤f（x）≤e2-4，
由a＞0得g（x）=alnx+b在[1，2]上递增，
所以x∈[1，2]时，g（1）≤g（x）≤g（2），即b≤g（x）≤aln2+b，
又对任意x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）=g（x2），
所以有[e-1，e2-4]⊆[b，aln2+b]，则
故e2-4-aln2≤b≤e-1，得到，a≥，b≤e-1
故答案为 D