Question

已知函数f（x）=ln（1+x）+ax，（a∈R），（e=2.718281828…）
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间及极值；
（2）令g（x）=（1-a）x，当x∈[e-1，2]时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）令a_n=1+，记数列{a_n}的前n项积为T_n，求证：T_n＜e²．

Answer

（1）当a=-1时，对函数求导，然后利用单调性和极值与导数的关系进行求解．
（2）将参数进行分类，将不等式恒成立转化为含有参数问题求最值恒成立问题，然后利用导数求构造函数的最值．
（3）根据数列的通项公式，构造对应的函数，然后利用函数的单调性去证明不等式．
【解析】
（1）当a=-1时，f（x）=ln（1+x）-x，（x＞-1）∴当x∈（-1，0）时f'（x）＞0；当x∈（0，+∞）时f'（x）＜0
∴当x=0时f极大值（x）=f（0）=0，无极小值，
且函数f（x）的单调增区间为（-1，0），单调减区间为（0，+∞）；（4分）
（2）当x∈[e-1，2]时，不等式f（x）≥g（x）恒成立等价于ln（1+x）-（1-2a）x≥0
即：恒成立．令，∴
当x∈[e-1，2]时，则：∴∴则实数a的取值范围（9分）
（3）由（1）得：当x＞0时，f（x）在区间（0，+∞）单调递减，则：ln（1+x）-x＜0，
即：ln（1+x）＜x，∴，
则：
记：①∴②
①-②得：∴∴（12分）∴lnTn＜2则：（14分）