Question

已知数{a_n}的前n项和为S_n，且满S_n=2a_n-n（n=1，2，3_）
（1）a₁，a₂，a₃的值；
（2）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（3）b_n=na_n，求数{b_n}的前n项T_n．

Answer

（1）分别令n=1，2，3代入，计算可得数列的值；
（2）由Sn=2an-n，可得Sn-1=2an-1-（n-1），两式相减易得；
（3）由（2）可得bn=n•2n-n，分别由错位相减法和等差数列的求和公式可得答案．
【解析】
（1）因为Sn=2an-n，令n=1，解得a1=1，
分别再令n=2，n=3，可解得a2=3，a3=7；
（2）因为n＞1，n∈N），
两式相减可得an=2an-1+1，即an+1=2（an-1+1），
又a1+1=2，所以{an+1}构成首项为2，公比为2的等比数列；
（3）因为{an+1}构成首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以an=2n-1，
因为bn=nan，所以bn=n•2n-n，
所以Tn=1•21+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n-（1+2+3+…+n），
令Hn=1•21+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n     （1）
则2Hn=1•22+2•23+3•24+…+（n-1）•2n+n•2n+1     （2）
（1）-（2）得：-Hn=21+22+23+…+2n-n•2n+1
==（1-n）•2n+1-2，故Hn=2+（n-1）•2n+1，
所以Tn=2+（n-1）•2n+1-