Question

设集合M是满足下列条件的函数f（x）的集合：①f（x）的定义域为R；②存在a＜b，使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）上分别单调递增，在（a，b）上单调递减．
（I）设f₁（x）=x•|x-2|，f₂（x）=x³-3x²+3x，判断f₁（x），f₂（x）是否在集合M中，并说明理由；
（II）求证：对任意的实数t，f（x）=都在集合M中；
（Ⅲ）是否存在可导函数f（x），使得f（x）与g（x）=f'（x）-x都在集合M中，并且有相同的单调区间？请说明理由．

Answer

（I）对于函数f1（x）=，结合函数的图象可知f1（x）∈M；由于f2′（x）=3（x-1）2≥0，则f2（x）∉M；
（II）按照集合M满足的条件只需证明两条：①在定义域为R；②存在a＜b，使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）上分别单调递增，在（a，b）上单调递减；
（Ⅲ）假设存在满足条件的可导函数f（x），验证f（x）与g（x）=f′（x）-x是否有相同的单调区间即可．
【解析】
（I）对于函数f1（x）=，满足：①f（x）定义域R，②f（x）在（-∞，1），（2，+∞）内单调递增，在（1，2）内单调递减，故f1（x）∈M；
对于函数f2（x）=x3-3x2+3x，由于f2′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0，
故f2（x）=x3-3x2+3x在R上为增函数，故f2（x）∉M；
（II）证明：由题意知，的定义域为R，且
由于h（x）=x2-2tx-1的△=（-2t）2-4×1×（-1）=4t2+4＞0恒成立，
故恒有两个零点，即满足：存在a＜b，使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）上分别单调递增，在（a，b）上单调递减
故对任意的实数t，f（x）=都在集合M中；
（Ⅲ）假设存在可导函数f（x），使得f（x）与g（x）=f'（x）-x都在集合M中，
则f（x）在（-∞，a），（b，+∞）上分别单调递增，在（a，b）上单调递减，故f'（x）＜0的解集是（a，b）
则g（x）=f'（x）-x=（x-a）（x-b）-x为二次函数不满足：存在a＜b，使f（x）在（-∞，a），（b，+∞）上分别单调递增，在（a，b）上单调递减，
故不存在可导函数f（x），使得f（x）与g（x）=f'（x）-x都在集合M中，并且有相同的单调区间．