Question

已知在（x²-）ⁿ的展开式中，第9项为常数项，求：
（1）n的值；
（2）展开式中x⁵的系数；
（3）含x的整数次幂的项的个数．

Answer

（1）根据（x2-）n的展开式中，第9项为常数项，而第9项的通项公式为 T9=28-n••x2n-20，故有 2n-20=0，由此解得 n=10．
（2）由（1）可得展开式的通项公式为 Tr+1=（-1）r•2r-10••．令x的幂指数等于5，求得r的值，可得展开式中x5的系数．
（3）由20- 为整数，可得r=0，2，4，6，8，从而得到含x的整数次幂的项的个数．
【解析】
（1）在（x2-）n的展开式中，第9项为常数项，而第9项的通项公式为 T9=•28-n•x2n-16•x-4=28-n••x2n-20，
故有 2n-20=0，解得 n=10．
（2）由（1）可得展开式的通项公式为 Tr+1=•2r-10•x20-2r•（-1）r•=（-1）r•2r-10••．
令20-=5，求得r=6，故展开式中x5的系数为•=．
（3）由20- 为整数，可得r=0，2，4，6，8，故含x的整数次幂的项的个数为5．