Question

当n∈N^*时，，
（Ⅰ）求S₁，S₂，T₁，T₂；
（Ⅱ）猜想S_n与T_n的关系，并用数学归纳法证明．

Answer

（I）由已知直接利用n=1，2，求出S1，S2，T1，T2的值；
（II）利用（1）的结果，直接猜想Sn=Tn，然后利用数学归纳法证明，①验证n=1时猜想成立；②假设n=k时，Sk=Tk，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可．
【解析】
（I）∵当n∈N*时，，Tn=+++…+．
∴S1=1-=，S2=1-+-=，T1==，T2=+=（2分）
（II）猜想：Sn=Tn（n∈N*），即：
1-+-+…+-=+++…+
（n∈N*）（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证S1=T1（6分）
②假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），
即：1-+-+…+-=+++…+（8分）
则：Sk+1=Sk+-=Tk+-（10分）
=+++…++-（11分）
=++…+++（-）
=++…++=Tk+1，
由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立．（14分）