Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．
（3）求二面角C₁-AB-C的正切值．

Answer

（1）欲证AC⊥BC1，而BC1⊂平面BCC1B1，可先证AC⊥平面BCC1B1，而AC⊥BC，AC⊥CC1，且BC∩CC1=C，满足定理所需条件；
（2）欲证AC1∥平面CDB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AC1与平面CDB1内一直线平行，设CB1与C1B的交点为E，连接DE，根据中位线定理可知DE∥AC1，DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，满足定理条件；
（3）过点C作CF⊥AB于F，连接C1F，根据二面角平面角的定义可知∠C1FC为二面角C1-AB-C的平面角，在直角三角形C1FC中求出此角的正切值即可．
证明：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1，
∵底面三边长AC=3，AB=5，BC=4，
∴AC⊥BC，（1分）
又直三棱柱ABC-A1B1C1中AC⊥CC1，
且BC∩CC1=C
BC∩CC1⊂平面BCC1B1
∴AC⊥平面BCC1B1
而BC1⊂平面BCC1B1
∴AC⊥BC1；
（2）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，（5分）
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，
∴DE∥AC1，（7分）
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．（8分）
（3）【解析】
过点C作CF⊥AB于F，连接C1F（9分）
由已知C1C垂直平面ABC，则∠C1FC为二面角C1-AB-C的平面角（11分）
在Rt△ABC中，AC=3，AB=5，BC=4，则CF=（12分）
又CC1=AA1=4
∴tan∠C1FC=（13分）
∴二面角C1-AB-C的正切值为（14分）