Question

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=2，且．a₂是a₁、a₄的等比中项，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n记数列的前n项和为T_n，求证：T_n＜1．

Answer

（Ⅰ）先等差数列{an}的公差为d（d≠0），根据条件和等差数列的通项公式列出方程求解，再代入等差数列的通项公式化简即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的公差，代入等差数列的前n项和公式化简，再求出并且裂项，再代入前n项和为Tn化简，根据式子和n的取值范围进行证明即可．
【解析】
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），
由题意得，即，
∴（2+d）2=2（2+3d），解得 d=2，或d=0（舍），
∴an=a1+（n-1）d=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
，
∴=，
∴=，
=，
∵n∈N*，∴Tn＜1．