Question

已知向量=（2cosx，2sinx），=（cosx，cosx），设f（x）=-1．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且acosB=bcosA，试判断△ABC的形状．

Answer

（I）由于函数f（x）=-1=2sin（2x+），令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（Ⅱ）在△ABC中，由于，求得sin（C+）=1，C=．再由 acosB=bcosA，利用正弦定理可得sin（A-B）=0，A-B=0，故 A=B=C=，由此可得△ABC的形状．
【解析】
（I）由于函数f（x）=-1=2cos2x+2sinxcosx-1=cos2x+sin2x=2sin（2x+），
令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z．
故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．
（Ⅱ）在△ABC中，由于=2sin（C+），∴sin（C+）=1，∴C=．
再由 acosB=bcosA，利用正弦定理可得 ainAcosB=sinBcosA，∴sin（A-B）=0．
再由-π＜A-B＜π，可得 A-B=0，故 A=B=C=，
故△ABC为等边三角形．