Question

记平面内与两定点A₁（-2，0），A₂（2，0）连线的斜率之积等于常数m（其中m＜0）的动点B的轨迹，加上A₁，A₂两点所构成的曲线为C
（I）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的值的关系；
（Ⅱ）当m=时，过点F（1，0）且斜率为k（k#0）的直线l₁交曲线C于M．N两点，若弦MN的中点为P，过点P作直线l₂交x轴于点Q，且满足•．试求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）设动点M（x，y），由条件可得mx2-y2=4m（x≠±2），对m分m＜-1，m=-1，-1＜m＜0三种情况讨论即可；
（Ⅱ）设出直线l1的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，利用韦达定理，确定|MN|、|PQ|，即可求得结论．
【解析】
（I）设动点B（x，y）．
当x≠±2时，由条件可得•=•==m
即mx2-y2=4m（x≠±2）．
又A1（-2，0）、A2（2，0）的坐标满足mx2-y2=4m．
当m＜-1时，曲线C的方程为+=1，曲线C是焦点在y轴上的椭圆；
当m=-1时，曲线C的方程为x2+y2=4，曲线C是圆心在原点上的圆；
当-1＜m＜0时，曲线C的方程为+=1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆；
（Ⅱ）由（I）知，曲线C的方程为+=1．
依题意，直线l1的方程为y=k（x-1）．
代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则
由韦达定理得：x1+x2=-，x1x2=
∴弦MN的中点为P（，）
∴|MN|==
直线l2的方程为
由y=0，可得x=，则Q（，0），
∴|PQ|=
∴=
∵k2+1＞1，∴0＜＜1
∴
∴的取值范围为（0，）．