Question

已知函数f（x）=（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域、值域；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）满足：对于任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用函数的性质求函数的定义域和值域．
（2）要使函数在x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0，则实质是求函数f（x）在[-1，+∞）上的最大值是否满足条件．
【解析】
（1）由4-ax≥0，得ax≤4．当a＞1时，x≤loga4；当0＜a＜1时，x≥loga4．
即当a＞1时，f（x）的定义域为（-∞，loga4]；当0＜a＜1时，f（x）的定义域为[loga4，+∞）．
令t=，则0≤t＜2，且ax=4-t2，∴f（x）=g（t）=4-t2-2t-1=-（t+1）2+4，
当t≥0时，g（x）是t的单调减函数，∴g（2）＜g（t）≤g（0），即-5＜f（x）≤3，∴函数f（x）的值域是（-5，3]．
（2）若存在实数a，使得对于任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0，则区间[-1，+∞）是定义域的子集．
由（1）知，a＞1不满足条件；所以0＜a＜1，且loga4≤-1，即．
令t=，由（1）知，f（x）=4-t2-2t-1=-（t+1）2+4，
由f（x）≤0，解得t≤-3（舍）或t≥1，即有≥1解得ax≤3，
由题意知对任意x∈[-1，+∞），有ax≤3恒成立，因为0＜a＜1，所以对任意x∈[-1，+∞），都有ax≤a-1．所以有a-1≤3，解得，即．∴存在，对任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0．