Question

如图，我市市区有过市中心O南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，市政府决定修建两条公路，延伸从市中心O出发北偏西60°方向的健康路至B点；在市中心正南方解放路上选取A点，在A、B间修建徐新路．
（1）如果在A点看市中心O和点B视角的正弦值为，求在点B处看市中心O和点A视角的余弦值；
（2）如果△AOB区域作为保护区，已知保护区的面积为，A点距市中心的距离为3km，求南徐新路的长度；南徐新城南徐新路健康路BB西北东A南O解放城解放城正东路
（3）如果设计要求市中心O到南徐新路AB段的距离为4km，且南徐新路AB最短，请你确定两点A、B的位置．

Answer

（1）由题意∠A0B=，∠BAO为税角，sin∠BAO=，由于；∠OBA=-∠BAO，故由差角公式求值即可；
（2）如图在三角形AOB中用余弦定理求解即可．
（3）根据题设条件用余弦定理将南徐新路AB的长度表示出来，再结合基本不等式求最值即可．
【解析】
（1）由题可得∠A0B=，∠BAO为税角，sin∠BAO=，
故cos∠BAO=，cos∠OBA=cos（-∠BAO）==
（2）OA=3，S=OA×OB×sin∠BOA=OB×3×sin=，
∴OB=5，由余弦定理可得
=9+25+15=49，∴AB=7
（3）∵BA×4=×OA×OB×sin∠BOA，∴OA×OB=AB

=OA2+OB2+OA×OB≥3OA×OB=3×AB，
∴AB≥8，等号成立条件是OA=OB=8
答：当AB最短时，A，B距离市中心O为8公里．