Question

函数f（x）=xlnx-ax²-x（a∈R）．
（I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（II）若函数f（x）的图象在直线y=-x图象的下方，求a的取值范围；
（III）求证：2013²⁰¹²＜2012²⁰¹³．

Answer

（I）利用f′（1）=0得到a，并利用极值的充分条件进行检验即可；
（II）由题意可得：xlnx-ax2-x＜-x，由x＞0，可化为a＞．设h（x）=，利用导数即可得到极值及其最值；
（III）由（II）可知：h（x）在（e，+∞）上单调递减，可得，化为lnxx+1＞ln（x+1）x，
即xx+1＞（x+1）x，令x=2012，即可证明．
【解析】
（I）f′（x）=lnx-2ax，（x＞0）．
∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，即0-2a=0，解得a=0．
∴f′（x）=lnx，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，1）内单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）内单调递增．
∴函数f（x）在x=1时取得极小值．
（II）由题意可得：xlnx-ax2-x＜-x，
∴xlnx-ax2＜0，
∵x＞0，∴a＞．
设h（x）=，则h′（x）=，
令h′（x）＞0，解得0＜x＜e，∴h（x）在区间（0，e）上单调递增；
令h′（x）＜0，解得e＜x，∴h（x）在区间（e，+∞）上单调递减．
∴h（x）在x=e时取得极小值，即最小值，h（e）=．
∴a＞．
（III）由（II）可知：h（x）在（e，+∞）上单调递减，
∴h（x）＞h（x+1），
∴，化为lnxx+1＞ln（x+1）x，
∴xx+1＞（x+1）x，
令x=2012，可得2012201′3＞20132012．