Question

已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）求f（x）；
（2）是否存在最大的常数k，对于任意x实数都有f（x）＞k，求出k；若不存在，说明理由．
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer

先利用函数是奇函数，求出参数a，b的值．
利用函数的奇偶性和单调性求出k．
利用函数的单调性得到f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0的等价命题，再利用不等式恒成立的条件，解出k即可．
解  （1）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，即，解得b=1
从而有
又由f（1）=-f（-1）知，解得a=2…..（4分）
（2）由（1）知=
由上式易知f（x）在R上为减函数，，所以k=-．…．（8分）
（3）解法一：由（1）知=
由上式易知f（x）在R上为减函数，
又因f（x）是奇函数，从而不等式
f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（-2t2+k）
因f（x）是R上的减函数，由上式推得t2-2t＞-2t2+k
即对一切t∈R有3t2-2t-k＞0
从而△=4+12k＜0，解得     …．（13分）