Question

已知椭圆C：（a＞b＞0），F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别为其左、右焦点，A、B分别为其上顶点、右顶点，且满足∠F₁AB=90°．
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）若P为椭圆C上的任意一点，是否存在过点F₂、P的直线l，使l与y轴的交点R满足？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意得到A，B的坐标，写出向量的坐标，把∠F1AB=90°转化为两向量的数量积等于0得到b2=ac，结合b2=a2-c2列式求得椭圆C的离心率e；
（2）写出过点F2、P的直线l的点斜式方程，求出R的纵坐标，设出P的坐标，由得到P点的坐标，把P的坐标代入椭圆方程得到，又b2=ac，代入后得到关于椭圆离心率的方程，把（1）中求出的离心率代入求得k的值为负值，从而说明直线不存在．
【解析】
（1）由已知得，A（0，b），B（a，0），
则
∵，∴，∴b2=ac，
∴c2+ac-a2=0，即，解得；
（2）显然直线l的斜率存在．
设l：y=k（x-c），得R（0，-kc）．设P（x，y），
由，得（x，y+kc）=-2（c-x，-y），
得P（2c，kc），代入椭圆方程得，，又b2=ac，
所以，
将代入得，，矛盾．
故不存在满足题意的直线l．