Question

某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低x（0≤x≤8）元时，每天多卖出的件数与x²+x成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．
（1）试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；
（2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？

Answer

（1）确定每件商品的利润，每天卖出的商品件数，即可求得该商品一天的销售利润表示成x的函数；
（2）求导函数，确定函数的极值，从而可得最大利润．
【解析】
（1）由题意可设，每天多卖出的件数为k（x2+x），∴36=k（32+3），∴k=3
又每件商品的利润为（20-12-x）元，每天卖出的商品件数为48+3（x2+x）
∴该商品一天的销售利润为f（x）=（8-x）[48+3（x2+x）]=-3x3+21x2-24x+384（0≤x≤8）
（2）由f'（x）=-9x2+42x-24=-3（x-4）（3x-2）
令f'（x）=0可得或x=4
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：

4 8
- + -
384 ↘ 极小值 ↗ 极大值432 ↘

∴当商品售价为16元时，一天销售利润最大，最大值为432元