Question

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），a∈R．
（I）若函数f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；
（II）若a=1，试在函数f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且两切点的横坐标均在区间．

Answer

（I）利用函数f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，则得到f'（x）≥0恒成立．
（Ⅱ）当a=1时，求函数的导数，利用这两点为切点的切线互相垂直，得到两点的导数值之积为-1，然后求解切点坐标．
【解析】
（I）要使函数f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，则f'（x）≥0恒成立．
函数的导数为f'（x）=a-=，由f'（x）≥0得，因为x≥2，所以ax-1≥0，
ax≥1，即a即可．因为函数y=在[2，+∞）上为单调递减函数，所以y，所以要使a恒成立，则有a．
即满足条件的实数a的取值范围[）．
（Ⅱ）若a=1，则f（x）=x-2ln（x+1），．，设这两个切点分别为（x1，y1），（x2，y2），
f′（x1）f′（x2）=，整理得x1x2=-1，即．
因为两切点的横坐标均在区间[-，2]上．所以，，即．
①若x1＞0，则由不等式解得x1≥2，所以此时x1=2，．
②若x1＜0，则由不等式解得，所以此时．
当x=2时，f（2）=2-2ln3，当x=时，，
即两切点的坐标分别为（2，2-2ln3），．