Question

根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x₁，x₂，…，x_k，…； y₁，y₂，…，y_k，…．
（Ⅰ）分别求数列{x_k}和{y_k}的通项公式；
（Ⅱ）令z_k=x_ky_k，求数列{z_k}的前k项和T_k，其中k∈N₊，k≤2007．

Answer

（I）根据框图可知数列{xk}为等差数列，首项为1，公差为2，进而根据等差数列的通项公式求得数列{xk}的通项公式，对于{yk}易得yk+1=3yk+2变形得yk+1+1=3（yk+1），利用等比数列的通项公式求得yk+1=3k进一步求出yk=3k-1．
（II）根据（I）中求得的{xk}和{yk}的通项公式，求得zk=（2k-1）3k-（2k-1），进而利用错位相减法求得答案．
【解析】
（I）依框图得数列{xk}为等差数列，首项为1，公差为2
所以xk=1+2×（k-1）=2k-1
而对于{yk}易得yk+1=3yk+2变形得yk+1+1=3（yk+1）
所以{yk+1}是以y1+1=3为首项，以3为公比的等比数列，
所以yk+1=3k
所以yk=3k-1
（II）由题意知，zk=（2k-1）（3k-1）=（2k-1）3k-（2k-1）
设Sk=1×3+3×32+5×33+…+（2k-1）•3k
3Sk=1×32+3×33+…+（2k-3）•3k+（2k-1）3k+1
两式相减得
-2Sk=2（1-k）•3k+1-6
所以Dk=3-（1-k）•3k+1．
∴Tk=3-（1-k）•3k+1-k2．