Question

已知，n∈N^*．
（1）若g（x）=f₄（x）+2f₅（x）+3f₆（x），求g（x）中含x²项的系数；
（2）若p_n是f_n（x）展开式中所有无理项的系数和，数列{a_n}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p_n（a₁a₂…a_n+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）．

Answer

（1）确定函数g（x），利用二项式定理可得g（x）中含x2项的系数；
（2）确定pn的表达式，根据数学归纳法的步骤，先证n=1时成立，再设n=k时成立，利用归纳假设证明n=k+时成立即可．
（1）【解析】
g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x）=+2+3，
∴g（x）中含x2项的系数为=1+10+45=56．（3分）
（2）证明：由题意，pn=2n-1．（5分）
①当n=1时，p1（a1+1）=a1+1，成立；
②假设当n=k时，pk（a1a2…ak+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+ak）成立，
当n=k+1时，（1+a1）（1+a2）…（1+ak）（1+ak+1）≤2k-1（a1a2…ak+1）（1+ak+1）
=2k-1（a1a2…akak+1+a1a2…ak+ak+1+1）．（*）
∵ak＞1，a1a2…ak（ak+1-1）≥ak+1-1，即a1a2…akak+1+1≥a1a2…ak+ak+1，
代入（*）式得（1+a1）（1+a2）…（1+ak）（1+ak+1）≤2k（a1a2…akak+1+1）成立．
综合①②可知，pn（a1a2…an+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+an）对任意n∈N*成立．（10分）