Question

设函数f（x）=alnx，g（x）=x²．
（1）记h（x）=f（x）-g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；
（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；
（3）若a=1，对任意的x₁＞x₂＞0，不等式m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立．求m（m∈Z，m≤1）的值．

Answer

（1）当a=4时，可得，利用导数公式算出，再解关于x的不等式并结合函数h（x）的定义域，即可得到函数h（x）的单调递增区间；
（2）通过移项合并同类项，化简不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）得，再进行变量分离得，由此设并讨论其单调性得到，结合原不等式有解即可算出实数a的取值范围；
（3）当a=1时原不等式恒成立，即mg（x1）-x1f（x1）＞mg（x2）-x2f（x2）恒成立，因此设，结合题意当x∈（0，+∞）时t（x）为增函数，得t′（x）≥0恒成立，解出恒成立．再研究不等式右边对应函数h（x）的单调性得到h（x）max=1，从而得到m≥1，结合已知条件可得m=1．
【解析】
（1）当a=4时，可得f（x）=4lnx，此时，
由得-2＜x＜2，结合x＞0，可得0＜x＜2．
所以h（x）的单调递增区间为（0，2）．…（4分）
（2）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x-g（x），即为，
化简得：，
由x∈[1，e]知x-lnx＞0，因而，设，
由=，
∵当x∈（1，e）时x-1＞0，，∴y′＞0在x∈[1，e]时成立．
由不等式有解，可得知，即实数a的取值范围是[-，+∞）…（10分）
（3）当a=1，f（x）=lnx．
由m[g（x1）-g（x2）]＞x1f（x1）-x2f（x2）恒成立，得mg（x1）-x1f（x1）＞mg（x2）-x2f（x2）恒成立，
设．
由题意知x1＞x2＞0，故当x∈（0，+∞）时函数t（x）单调递增，
∴t′（x）=mx-lnx-1≥0恒成立，即恒成立，
因此，记，得，
∵函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴函数h（x）在x=1时取得极大值，并且这个极大值就是函数h（x）的最大值．
由此可得h（x）max=h（1）=1，故m≥1，结合已知条件m∈Z，m≤1，可得m=1．…（16分）