Question

已知定点F（0，1）和定直线l：y=-1，过定点F与定直线l相切的动圆的圆心为点C
（1）求动圆的圆心C的轨迹W的方程；
（2）设点P是W上的一动点，求PF的中点M的轨迹方程．

Answer

（1）设圆心C（x，y），利用条件过定点F与定直线l相切的动圆建立方程，可求轨迹方程．
（2）设中点M（x，y），利用与P，F的关系，通过代入法建立方程，从而可求M的轨迹方程．
【解析】
（1）设C（x，y），因为圆C定点F与定直线l相切，所以|CF|=|x+1|，即圆心C到定点和直线y=-1的距离相等．
轨迹抛物线的定义可知，C的轨迹是以F为焦点，y=-1为准线的抛物线，设抛物线方程为x2=2py，其中，
所以p=2，即抛物线方程为x2=4y．
（2）设PF的中点M（x，y），P（x1，y1），则由中点坐标公式可得，
代入抛物线方程x2=4y，
得（2x）2=4（2y-1），即x2=2y-1，
所以PF的中点M的轨迹方程为x2=2y-1．