Question

已知关于x的一元二次方程2x²+2mx+m²+2m-6=0（m∈R）有实根x₁，x₂；
（1）求m的取值范围；
（2）设f（m）=x₁²+x₁x₂+x₂²，求f（m）的最大值和最小值．

Answer

（1）利用判别式大于等于0，可得不等式，即可求m的取值范围；
（2）利用韦达定理，结合配方法，即可求f（m）的最大值和最小值．
【解析】
（1）∵一元二次方程2x2+2mx+m2+2m-6=0（m∈R）有实根x1，x2，
∴△=4m2-8（m2+2m-6）≥0
∴m2+4m-12≤0
∴-6≤m≤2
（2）x1+x2=-m，x1x2=（m2+2m-6）
∴f（m）=x12+x1x2+x22=（x1+x2）2-x1x2=m2-（m2+2m-6）=
∵-6≤m≤2，
∴m=-6时，取得最大值27，m=1时，取得最小值．