Question

已知方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0表示圆C．
（Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）在已知方程表示的所有圆中，能否找到圆C₁，使得圆C₁经过点P（2，1），Q（4，-1）两点，且与圆x²+y²-4x-5=0相切？说出理由．

Answer

（I）将圆C方程化成标准形式得（x-2）2+（y+m）2=-m2+2m+3，因此若方程表示圆则-m2+2m+3＞0，解之得即可得到实数m的取值范围；
（II）将点P、Q的坐标代入圆C的方程解出m=1，从而得到圆心C1（2，-1）且径R1=2．算出圆x2+y2-4x-5=0的圆心为C2（2，0）且半径R2=3，算得|C1C2|=1=R2-R1，故圆C1与圆C2相内切，因此可得存在满足条件的圆C1．
【解析】
（I）将方程x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0化成标准形式，得
（x-2）2+（y+m）2=-m2+2m+3
∵方程x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0表示圆C．
∴-m2+2m+3＞0，解之得-1＜m＜3
（II）若点P、Q在圆C上，则
，解之得m=1
∴圆C的标准方程为（x-2）2+（y+1）2=4
圆心为C1（2，-1），半径R1=2
又∵圆C2：x2+y2-4x-5=0的圆心为C2（2，0），半径R2=3，圆心距|CC2|=1
∴圆心距|C1C2|=1=R2-R1，故圆C1与圆C2相内切
因此存在点C1（2，-1），使圆C1与圆x2+y2-4x-5=0相切．