Question

如图①，四边形ABCD是矩形，AB=2AD=2a，E为AB的中点，在四边形ABCD中，将△AED沿DE折起，使A到A′位置，且A′M⊥BC，得到如图②所示的四棱锥A′-BCDE．
（Ⅰ）求证：A′M⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求四棱锥A′-BCDE的体积；
（Ⅲ）判断直线A′D与BC的位置关系．

Answer

（I）证明A′M⊥DE，结合A′M⊥BC，利用线面垂直的判定定理，即可得到结论；
（II）由（I）知A′M⊥平面BCDE，则A′M是四棱锥A′-BCDE的高，利用体积公式，即可求四棱锥A′-BCDE的体积；
（Ⅲ）直线A′D与BC是异面直线，利用反证法进行证明即可．
（I）证明：在△A′DE中，A′E⊥A′D，A′E=A′D，
∵M为DE的中点，
∴A′M⊥DE，
∵A′M⊥BC，又DE与BC相交，
∴A′M⊥平面BCDE．
（II）【解析】
由（I）知A′M⊥平面BCDE，则A′M是四棱锥A′-BCDE的高，
在△A′DE中，A′E⊥A′D，A′E=A′D=a，则A′M=a．
∵四边形BCDE是直角梯形，BE=BC=a，DC=2a，∴四边形BCDE的面积S==a2
∴四棱锥A′-BCDE的体积V=S•A′M+a2×a=a3
（III）【解析】
直线A′D与BC是异面直线，理由如下：
假设直线A′D与BC共面，则直线A′D与BC确定平面α，所以A′、D、B、C，都在平面α上
∵D，B，C确定平面BCDE，则A′在平面BCDE上，这与已知矛盾
∴直线A′D与BC是异面直线．