Question

如图四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上，O为AC与BD的交点．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当E为PB中点时，求证：OE∥平面PDA，OE∥平面PDC．
（3）当且E为PB的中点时，求AE与平面PBC所成的角的大小．

Answer

（1）通过四边形ABCD是正方形，证明PD⊥底面ABCD，然后证明AC⊥平面PDB，即可证明平面平面AEC⊥平面PDB．
（2）利用四边形ABCD是正方形，证明OE∥PD，然后OE∥平面PDA，同理可证OE∥平面PDC．
（3）D为坐标原点建立如图的空间直角坐标系D-xyz．设AB=1．通过求出平面PBC的一个法向量为由设AE与平面PBC所成的角θ，则sinθ=，求出AE与平面PBC所成的角的正弦值为．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，BD∩PD=D
∴AC⊥平面PDB，
又∵AC⊂平面AEC
∴平面平面AEC⊥平面PDB．
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD，在PBD中，
又∵PE=BE
∴OE∥PD，
又∵OE⊄平面PAD，PD⊂平面PAD
∴OE∥平面PDA，同理可证OE∥平面PDC．
（3）∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥DA，PD⊥DC，
又∵DA⊥DC
所以，可以D为坐标原点建立如图的空间直角坐标系D-xyz．设AB=1．则
D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，），
从而，，，
设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z）．
由得
令z=1，得
设AE与平面PBC所成的角θ，则sinθ=，

AE与平面PBC所成的角的正弦值为．