Question

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点，点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆M：x²+（y-5）²=9，双曲线G与椭圆C有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

Answer

（1）待定系数法求椭圆的方程，设椭圆C的方程为mx2+ny2=1，将点，点代入，建立方程组，即可求出椭圆C的方程；
（2）设出双曲线方程，利用圆M：x2+（y-5）2=9，双曲线G与椭圆C有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，建立两个方程，从而可求出双曲线G的方程．
【解析】
（1）依题意，可设椭圆C的方程为mx2+ny2=1，…（1分）
从而，解得…（3分）
故椭圆C的方程为…（4分）
（2）椭圆C：的两焦点为F1（-5，0），F2（5，0），…（5分）
∵双曲线G与椭圆C有相同的焦点，
∴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c=5．…（6分）
设双曲线G的方程为（a＞0，b＞0），则G的渐近线方程为y=±x，…（7分）
即bx±ay=0，且a2+b2=25，
圆M：x2+（y-5）2=9的圆心为（0，5），半径为r=3．
∵双曲线G的两条渐近线恰好与圆M相切
∴
∴a=3，b=4．…（9分）
∴双曲线G的方程为．…（10分）