Question

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，满足S_n=2n²-n，且a₁，a₂依次是等比数列{b_n}的前两项．
（1）求数列{a_n} 及{b_n}的通项公式；
（2）是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列{a_n-log_ab_n}（n∈N⁺）是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由关系式求出an，注意验证n=1时是否符合，再求出a1，a2的值，作商求出公比，再代入等比数列的通项公式求出bn；
（2）先假设存在，再由（1）求出an-logabn进行整理，列出常数列的等价条件，求出a的值并与范围进行比较，再下结论即可．
【解析】
（1）由题意知，Sn=2n2-n，
当n=1时，a1=s1=1，
当n≥2时，an=sn-sn-1=2n2-n-[2（n-1）2-（n-1）]=4n-3，
又n=1时，4n-3=1，也符合上式，
∴an=4n-3，
∴a2=5，则，
（2）假设存在常数a＞0且a≠1满足条件，
由（1）得an-logabn=4n-3-（n-1）loga5=（4-loga5）n-3+loga5，
∵数列{an-logabn}（n∈N+）是常数列，
∴4-loga5=0，
解得，
故存在常数a＞0且a≠1，使得数列{an-logabn}（n∈N+）是常数列．