Question

设是右焦点为F的椭圆上三个不同的点，则“|AF|，|BF|，|CF|成等差数列”是“x₁+x₂=8”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既非充分也非必要

Answer

先根据椭圆方程求得右准线方程，进而分别求得A、B、C到右准线的距离进而根据椭圆的第二定义用e和点到准线的距离表示出|AF|，|BF|，|CF|，进而可知丨AF丨，丨BF丨，丨CF丨成等差数列等价于2ed2=ed1+ed3，2d2=d1+d3，即：x1+x2=8推断出结论．
【解析】
右准线为：x==
设A、B、C到右准线的距离为d1、d2、d3
d1=-x1，d2=，d3=-x2
由椭圆的第二定义（点到定点的距离等于到定直线距离的e倍，定点为焦点，定直线为准线）
丨AF丨=ed1、丨BF丨=ed2、丨CF丨=ed3
丨AF丨，丨BF丨，丨CF丨成等差数列等价于2ed2=ed1+ed3，2d2=d1+d3，即：x1+x2=8
∴“丨AF丨，丨BF丨，丨CF丨成等差数列”是“X1+X2=8的充要条件．